Le polyèdre de Melencolia I, invention de Dürer qu’on ne trouve nulle part ailleurs, est une énigme géométrique sophistiquée qui a résisté pendant plus de quatre vingts ans  aux investigations des chercheurs. Nous allons résumer ici l’article probablement définitif de Hans Weizel [1] qui reprend de manière systématique les travaux de ses prédécesseurs (essentiellement allemands) et propose, sur la base d’un croquis de Dürer récemment retrouvé [2], une reconstruction très convaincante de la démarche  intellectuelle suivie par l’artiste.

Ce chapitre risque de décevoir ceux qui privilégient un sens mystique ou ésotérique. Ceux qui s’intéressent  à la genèse complexe des idées et à la reconstruction encore plus complexe de cette genèse, trouveront ici une passionnante page de l’Histoire des Sciences et de l’Histoire de l’Art réunies.

Article précédent : 3 La question de la Sphère

Un cube posé sur sa pointe

Page de titre de  « Instrumentum sinuum sive primi », Petrus Apianus, 1534, Nüremberg

Vingt ans à peine après Melencolia I et dans la ville même de Dürer, un graveur inconnu s’est livré à un exercice de géométrie bien plus approximatif. Le morceau de bravoure réside   dans la table en forme d’étoiles à sept branches (comme les sept planètes), plutôt que dans le cube posé sur sa pointe.

Cette gravure à l’avantage d’illustrer l’interprétation  la  plus simple du polyèdre de Dürer :  un cube dressé selon sa diagonale, puis tronqué en haut et en bas. Elle a aussi l’avantage de montrer les écueils d’une perspective au jugé. Dans un cube, l’angle réel aux sommets de chaque faces est de 90°, tandis que l’angle apparent, du fait de l’inclinaison de la face, est plus grand pour les points haut et bas et plus petit  pour les points gauche et droit. Ici,  le graveur maladroit a mis  un angle droit en bas, ce qui donne cette impression « de guingois ».

Les avantages du cube

Le cube est une forme parfaite, qui complète agréablement la sphère posée juste en dessous.

Cette forme  satisfait donc toute une série de chercheurs :  Nagel (1922), de Haas (1951), Wangart, (1968, 1976), Strauss (1972a, 1974), Bashir-Hecht (1985).

Un cristal, mais lequel ?

Cristal de calcite, Atlas der Krystallformen (1913)

Grodzinski (1955) fait des essais avec des modèles en papier pour trois angles  : 60 ° (octaédre), 72 ° (rapport d’or) et 90 ° (cube), persuadé que le polyèdre représente un diamant, qui cristallise soit sous forme d’octaèdre, soit sous forme de cube. Surprise :  le modèle qui s’accorde le mieux avec le polyèdre de la gravure est celui de 72°.

Néanmoins Steck (1958) persiste sur l’octaèdre et le diamant.

Roesch (1970) reprend les modèles de Grodzinski en essayant un angle supplémentaire, 102° (celui de la calcite), et confirme que le meilleur accord est bien avec l’angle de 72°. MacGillarty (1982) propose-elle aussi un cristal de calcite, mais d’angle 79°+_1.

Grigoriev et Schafranovsky (1973)  proposent un cristal de fluorine, métal utilisé par les orfèvres comme fondant du temps de Dürer, ce qui a l’avantage d’établir un lien avec le creuset. Mais son angle de 76° est très rare dans la nature (l’angle normal étant de 102°) et rien ne prouve que Dürer ait pu connaître ce type très particulier de cristallisation.

Lynch (1982)  propose 81,8°. La même année, Schall à la suite d’une reconstruction perspective très précise, trouve 79,2°.

A partir de là, la cause du rhomboèdre intermédiaire entre l’octaèdre et le cube est quasiment entendue.

MacKinnon (1993)  tente un dernier compromis pour sauver le cube, en suggérant une sorte d’anamorphose : vu du coin en bas à gauche, le rhomboèdre tronqué devient un cube tronqué.

Plus grand monde ne croit à la représentation d’un cristal naturel :  une dernière tentative  isolée de J.Bordehore (2006), propose  un cristal d’alunite [3]

Désormais, on recherche plutôt une justification géométrique

à cet étrange angle intermédiaire entre le cube et l’octaèdre.

L’angle de 72°

Cet angle, qui est l’angle interne du pentagone,  est très séduisant car il repose sur le nombre d’or ; c’est pourquoi Grodzinski l’avait essayé en 1955, et l’avait retenu comme meilleur candidat à l’issue de ses expériences.

En 1999, Schreiber donne un argument complémentaire apparemment irrésistible : avec l’angle de 72°, en le tronquant au bon niveau, le polyèdre s’inscrit parfaitement  dans une sphère englobante [4].

A partir de là, la messe semble dite, du moins sur le Net  : on trouvera abondamment, en commençant par Wikipedia [4] des constructions géométriques  [5] et symboliques [6], voire des maquettes en papier [7] permettant de construire le « polyèdre de Dürer » avec son angle de 72°.

Seuls grains de sable, régulièrement ignorés :

• n’importe quel rhomboèdre s’inscrit dans une sphère, à condition de le tronquer au bon niveau ;
• Dürer, qui connaissait bien entendu le nombre d’or, n’en a jamais parlé dans ses écrits ; en revanche, il était un grand spécialiste de la géométrie en trois dimension, et notamment d’une famille particulière de volumes  : les polyèdres archimédiens, dont il a étudié, découvert et construit plusieurs. On peut donc s’attendre de sa part, s’agissant  d’un de ses sujets d’étude favoris, à une construction bien plus travaillée qu’un simple jeu sur le nombre d’or ;
• enfin, le polyèdre qui correspond le mieux à celui de la gravure possède un angle particulièrement ingrat (environ 80° ) qui ne correspond numériquement à rien.

Avant de proposer une solution plus satisfaisante, il nous faut comprendre pourquoi tant de chercheurs éminents ont pataugé pendant plus d’un siècle [10], et pourquoi il est si difficile de reconstituer la géométrie précise de ce polyèdre.

L’esquisse de Dresde

Dürer, dessin à la plume, 1514
Dresden, Sächsische Landesbibliothek

Il ne faut pas s’épuiser à chercher une signification au renard et à l’oiseau à peine esquissés sur le socle : le dessin de la pièce en haut à droite, sans rapport avec la construction géométrique montre seulement le souci d’économiser le papier.

Tous les chercheurs se sont penché avec espoir sur ce précieux croquis qui, en plus de marquer par un oeil la position du point de fuite, dévoile les faces cachées.

Malheureusement, il ne s’agit que d’une étude, donc sujette à imprécisions. Ainsi les lignes qui joignent les points opposés (en jaune) ne permettent pas de définir précisément le centre, et donc la position des axes vertical et horizontal (pointillés blancs). Pour ce dernier axe, on peut considérer qu’il est indiqué par le bord arrière du socle.

Les hypothèses de travail

Mais le problème principal, avec une forme  non régulière comme celle-ci, est que, même connaissant le point de fuite, il n’est pas possible à partir de la seule vue en perspective de déterminer sans ambiguïté sa forme et ses dimensions. Pour y parvenir, voici les hypothèses complémentaires, de bon sens,  que se sont données Schuritz (1919) et Schaal (1982)  (cf [1] Weitzel 2009, p 164) :

• le polyèdre a des faces parallèles deux à deux ;
• il a un axe vertical, et cet axe  est perpendiculaire à l’horizon dans la gravure ;
• les 6 faces latérales ont la même forme ;
• la troncature  est symétrique en haut et en bas, et perpendiculaire à l’axe vertical ;
• les deux triangles équilatéraux ainsi produits à la tête et la base sont égaux ;
• le polyèdre est tourné de sorte que la pointe droite du triangle du bas et la pointe gauche du triangle du haut soient dans un plan parallèle au plan de l’image (plan bleu sur le schéma).  Ce qui revient à dire que chaque triangle a un côté perpendiculaire au plan de l’image ; et que donc ces deux côtés, ainsi que les diagonales des surfaces latérales, sont des lignes de fuite (en violet sur le schéma). On constate que sur l’étude, ces lignes vont vers un point de fuite qui ne coïncide pas exactement avec celui indiqué par les fuyantes du socle.

Les imprécisions de l’étude

Plus ennuyeux : si on prolonge les côtés pour retrouver la forme du polyèdre avant troncature, on se heurte à d’autres inconsistances :

• l’axe n’est pas exactement vertical ;
• le polyèdre n’est pas exactement symétrique entre le haut et le bas : le triangle supérieur devrait être un peu plus haut ; le triangle inférieur devrait être un peu plus court (lignes rouges).

Le polyèdre dans la gravure

Heureusement, toutes ces imperfections ont été corrigées dans la gravure :

• le point de fuite indiqué par la corniche coïncide  avec celui du polyèdre (lignes bleu) ;
• l’axe est vraiment perpendiculaire à l’horizon (pointillé vert) ;
• les deux lignes qui joignent des points opposés se croisent bien sur l’axe (lignes violettes) ;
• il n’y a plus d’anomalie sur les triangles haut et bas.

Extrait de Party Game for a 500th Anniversary »,2014 [10]

Il reste néanmoins quelques anomalies très mineures, qui montrent à quel niveau de précision en sont arrivés les polyédristes les plus méticuleux :

• la droite n devrait être parallèle à m et l
• les deux droites p et q convergent faiblement vers la droite, alors qu’elles devraient converger faiblement vers la gauche.

Ceci n’empêche pas  des  reconstructions perspectives très précises, comme celles de MacGillavry (1981)  (79° +-1) et  sutout de Schaal (1982)  , qui en a déduit l’angle très énigmatique de 79,2°.

Attention Scoop ! Ce qui  suit n’a à ma connaissance jamais été expliqué.

L’affinité entre polyèdre et échelle

Le fait de rajouter au rhomboèdre tronqué les deux pyramides qui lui manquent faut apparaître une évidence : le solide complet est un objet composé de six tranches horizontales, exactement  comme l’échelle (horizontales jaunes et bleues).

Le 3ème barreau de l’échelle  coïncide avec le triangle du haut, tandis que le 4ème coïncide avec le point haut du rhomboèdre complet : le pas de l’échelle indique précisément la hauteur de la pyramide à supprimer. Par ailleurs  nous avons vu (voir Question de la Sphère) que ce pas est égal au rayon de la Sphère.

Plus qu’une proximité, l’échelle et le polyèdre affichent une véritable affinité,

qui s’expliquera  par ailleurs  (voir Harmonies polyédriques).

Vue d’ensemble des rapports numériques

En rassemblant de que nous avons découvert dans Question de la Sphère, et ce que nous venons de trouver à propos du polyèdre, nous pouvons proposer une vue d’ensemble des rapports numériques, finalement assez simples, qui régissent le positionnement et la taille des quatre objets de la Géométrie  : le Carré , puis la Sphère,  puis l’Echelle et enfin le Polyèdre.

• 1) Partons du Carré, dont le côté C vaut 1/7 de la largeur de la gravure.
• 2) En abaissant ses côtés sur la diagonale, nous obtenons le Diamètre D de la Sphère (1/7 de la hauteur de la gravure), et son positionnement vertical. Son positionnement horizontal est donné par la verticale du point de fuite.
• 3) Une fois la Sphère placée, en choisissant l’angle de 18°, nous traçons les montants de l’échelle (en jaune)
• 4) Nous positionnons le barreau central au niveau du bas du Carré, puis les autres barreaux en les espaçant de D/2 (sauf  le 5 et le 6, qui sont espacés de C/2)
• 5) Sur la même horizontale que le barreau central, nous positionnons le coin haut du polyèdre (avant découpe)
• 6)  La position du 3ème barreau  nous donne le plan de coupe, et donc la taille du polyèdre
• 7) Nous ajustons latéralement le polyèdre pour que son point de fuite coïncide avec celui des moulures (c’est pourquoi son axe vertical ne coïncide pas avec le point remarquable que constitue le centre de l’arc en ciel)

Ainsi  les quatre  objets géométriques sont liés entre eux en  taille en position, avec un certain nombre de variables ajustables.

En supposant que Dürer a d’abord choisi des valeurs remarquables pour les  quatre données du haut (l’angle du polyèdre sera expliqué plus loin), neuf des treize variables de positionnement et de taille  des objets sont fixées, et il en reste quatre qui peuvent être ajustées librement : la position du centre du carré et la position du point de fuite.

Le géomètre s’est donné des contraintes  fortes, mais pas inhumaines.

Article suivant : La question du Polyèdre : 4.2 Sa logique

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Se focaliser sur la question de l’angle conduit, comme nous l’avons vu,  à une impasse. Une autre voie consiste  à essayer de retrouver les contraintes internes que Dürer a pu se donner, et donc la  logique interne ce ce polyèdre qui, avec le carré magique, constitue l’objet le plus intrigant de la gravure.

Nous allons poursuivre la lecture de l’article, passionnant comme un roman policier, où Weitzel explique sa découverte et reconstitue la démarche intellectuelle de Dürer [1].

Article précédent : 4.1 Son angle

De nombreux auteurs ont trouvé un lien logique très convainquant entre le polyèdre, le carré magique et, pourquoi pas l’ardoise carrée de l’angelot :

« Dürer n’a-t’il  pas  fait tourner le polyèdre autour de son axe vertical, de manière à ce que l’angelot, assis à cet emplacement remarquable, regarde  dans la direction du rhomboèdre qui montre justement la vue de côté déjà décrite ? Qu’ écrit-il ou  dessine-t-il sur son ardoise, qu’il  cache au  spectateur avec le bras et la main qui tient l’ardoise ? Comment sait-on qu’il s’agit bien de gribouillages ? N’est-ce pas un indice que Dürer  donne au spectateur : Regardez le polyèdre sous la même  direction que le l’angelot, et vous avez résolu l’un des mystères, peut-être Le mystère de l’image ? » Weitzel 2007, p 148

Quel est le mystère que résout cette vue de côté ?  Tout simplement, que le polyèdre vu de côté s’ajuste parfaitement dans un quadrillage carré 4 X 4.

A noter (chose moins souvent remarquée) que la vue de dessous s’inscrit également dans un quadrillage carré 4X4, mais un peu plus grand. Vue de dessous qui fait  apparaître, à l’intérieur d’un hexagone, deux étoiles à six branches imbriquées.

Cette double inscription du  polyèdre dans un quadrillage 4×4 a peut être une signification symbolique. Si le polyèdre (imparfait) a partie liée avec l’astre (erratique) sous l’égide de Saturne, son inscription dans le talisman de Jupiter montre que ce dernier est capable de contrôler Saturne, de l’enfermer dans son épure.

Dans le chapitre précédent ( 4.1 Son angle ), nous avions donné une première contrainte pouvant déterminer la hauteur de la coupe : faire en sorte que tous les sommets du rhomboèdre s’inscrivent dans une sphère (Schreiber, 1999)

Nous avons maintenant une seconde excellente contrainte : faire en sorte que la vue de côté s’inscrive dans un quadrillage 4×4.

Depuis les années 1980, les chercheurs se sont répartis en trois groupes : les tenants de la première contrainte, ceux de la seconde, et ceux de la combinaison des deux.



Weitzel, 2007, p 152

Ce tableau dressé par Weitzel récapitule tous ces efforts : la troisième colonne indique l’angle du polyèdre, la quatrième est le facteur de coupe. Les deux colonnes les plus intéressantes sont les deux suivantes :

• H/B est le rapport entre la hauteur et la largeur de la vue de côté : 1 signifie qu’il s’agit d’un carré
• ri/ra est le rapport entre la sphère interne (passant par les 6 points intermédiaires) et la sphère externe (passant par les 6 points des faces triangulaires : 1 signifie que ces deux sphères n’en font qu’une.

Un rapide parcours permet de voir qu’il y a une seule solution satisfaisant ces deux contraintes (première ligne du tableau) : malheureusement, ce n’est pas celle que Dürer a choisi, puisqu’elle donnerait un angle de 66,9°, vraiment trop loin des 79,2° de Schaal  (la meilleure reconstruction perspective).

Partant de là, Weitzel fait un raisonnement d’ingénieur. Acceptons l’angle de 79°2, et voyons comment Dürer, constatant que les deux contraintes n’était pas compatibles pour cet angle, aurait pu construire un compromis permettant de les satisfaire à peu près.

Weitzel, 2007, p 152

Après étude numérique, le meilleur compromis est la troisième image de la troisième ligne (5% d’erreur sur chaque condition)

La découverte de Weitzel

Feuille 127v, Durer Bandes, Nurnberger Stadtbibliothek

En 2004, Weitzel compulse les croquis laissés par Dürer lors de ses recherches sur les polyèdres archimédiens, vers 1510. Voici comment il décrit cette page dans son article [2] :

Dans la colonne de droite, de bas en haut,  le premier  « semble être une tentative de construire un solide d’Archimède (3,5,5), qui ne peut  pas exister. Comme Dürer a écrit, « Daz ist awff getzogen » : il est montré en élévation. » (remarque : la notation 3,3,5 indique que chaque sommet réunit un triangle et deux pentagones) « Le suivant, à savoir, le solide d’Archimède (3,6,6), est présenté en vue de dessous, et en conséquence Dürer a écrit, « Daz leit jm Nider grognement getruckten» (transcriptions par Rupprich [1969]). Le suivant semble le solide d’Archimède (3,5,3,5). Enfin, le croquis en haut n’est pas un solide, mais le pentagone irrégulier de Melencolia I. Cette esquisse ne contient que des lignes qui existent aussi dans l’esquisse du solide (3,5,3,5) en dessous. Nous pouvons ainsi voir, comment Dürer a développé les grandes lignes du pentagone à partir de ce solide d’Archimède. Son intention était de construire le solide d’Archimède (3,5,5); le résultat a été le polyèdre de Melencolia I. »

Le croquis en haut à gauche reprend à la règle et au compas l’esquisse sommaire du haut de la colonne de droite. En mesurant l’angle, on trouve 79,5°+-0,5, en parfait accord avec la valeur de Schaal.
De plus, les cinq sommets de cet polygone sont inscrits dans un cercle. Or, cette condition dans le plan se traduit par une condition équivalente dans l’espace :

« On peut montrer que pour alpha> 60°, la condition de l’existence d’un cercle englobant le rhombe tronqué, est interchangeable avec la condition introduite par Schreiber (1999), d’une sphère englobant le rhomboèdre tronqué de Melencolia l. En d’autres mots :  l’englobement du rhomboèdre tronqué exige des pentagones inscrits dans un cercle,  exactement comme celui du dessin. » Weitzel, p 162

Extrait de « Party Game for a 500th Anniversary »,2014 [3]

Pour être parfaitement honnête, ce pentagone ne représente pas exactement une des faces du rhomboèdre tronqué de Melencolia I, car l’angle opposé est beaucoup plus faible.

Néanmoins, l’étude de Weitzel donne une sacrément bonne intrigue  :

• dans les années 1510, Dürer aurait échoué à construire le solide archimédien [3,5,5], avec un angle de 79,5° ;
• en 1514, en mémoire de cette recherche infructueuse,  il aurait choisi le même angle pour son polyèdre déceptif ;
• il aurait ensuite optimisé la hauteur de coupe, pour trouver un compromis entre deux contraintes inconciliables : autre recherche déceptive.

A la vieille intuition de Panofsky : « Elle (la Mélancolie » ne s’obstine pas sur un objet qui n’existe pas, mais sur un problème qui ne peut être résolu » , Weitzel répond que la gravure illustre bien une double obstination : sur un corps archimédien impossible, et sur un problème sans solution autre qu’une approximation.

Pour conclure ce résumé de la découverte de Weizel,  laissons-lui  la parole, à propos de l’attitude découragée de l’Ange (tandis que l’Angelot gratte encore) :

« Certainement, elle a terminé son travail – mais elle n’est pas pleinement  satisfaite. Mathématiquement parlant : elle aurait voulu obtenir à la fois l’inscription exacte de la vue de côté dans un carré, et  du volume dans la sphère, ce qui suppose que Dürer aussi aurait pu la construire exactement  à la règle et et au compas… » [1], p 168

Scoop !  Pour confirmer que la correspondance entre le carré magique et le polyèdre est  bien un des sujets majeurs  de la gravure, voici quelques considérations complémentaires, qui n’ont jamais été présentées jusqu’ici.

En coloriant  à droite quatre zones de somme 34, on colorie par projection 12 des 14 arêtes de la vue de côté (deux arêtes à cheval entre deux zones restent en blanc).

De même, en coloriant d’une autre manière les cases du carré du carré du bas, on colorie 12 des 18 arêtes de la vue de dessous (six restent en blanc).

Les deux coloriages se combinent pour que, dans la vue en volume, chaque arête ait une couleur unique. Les 16 nombres du carré ne peuvent  numéroter les 18 arêtes du polyèdre : mais  4 zones de somme 34 peuvent, à la manière d’un vitrail, projeter sur chaque arête une couleur unique.  

A ce stade, il est logique de construire la troisième projection, vue de face. Elle s’inscrit dans un quadrillage rectangle 4 X 4 (puisque, comme nous l’avons vu, les deux carrés de côté et de dessous ont des tailles différentes). Allons-nous pouvoir colorier ce rectangle de manière cohérente avec les résultats précédents ?

La réponse est oui : les arêtes vert et bleu se projettent dans les cases vert et bleu. Il nous faut une nouvelle couleur (orange)  pour désigner les cases dans lesquelles se superposent des arêtes de couleurs différentes (jaune et cyan). Et une dernière couleur (gris) pour désigner les quatre cases qui ne contiennent aucune arête.

A partir du carré magique, on pourrait écrire un livre donnant, en quadrichromie, tous les coloriages possibles des zones de somme 34 : autrement dit toutes les symétries du carré.

Le mystère que l’angelot griffonne sur son ardoise cachée, c’est que ce livre contient, parmi ses nombreuses pages, les trois projections permettant de construire le polyèdre dans l’espace.

Correspondance proprement stupéfiante entre arithmétique et géométrie : certaines symétries entre les nombres correspondent à certaines symétries entre les arêtes :

le carré magique contient les trois plans du polyèdre.

Article suivant : La question du Polyèdre  :  4.3 La Transformation de Dürer

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Dans ce chapitre, nous allons oublier les aspects ingrats de la reconstruction perspective du polyèdre, ce que nous pourrions appeler sa « statique ». Et aborder la question sous une approche plus originale, que nous pourrions appeler sa « dynamique » :  puisqu’il s’agit d’une forme tout à fait originale, inventée par Dürer pour les besoins de Melencolia I,  de quelles autres formes plus classiques peut-on la rapprocher ? Pour cela, il va nous falloir nous interroger sur ce que représentait, à l’époque de Dürer, la question des polyèdres et de leurs transformations.

Article précédent : 4.2 Sa logique

Les solides de Platon et les éléments

Les cinq solides de Platon sont les seuls polyèdres réguliers convexes possibles (polyèdres sont toutes les faces et tous les sommets sont égaux).

Dans son dialogue le plus difficile et le plus commenté, le « Timée », Platon élabore une théorie des Eléments selon  laquelle chacun d’eux est constitué par une infinité de polyèdres minuscules, dont les caractéristiques géométriques déterminent les qualités macroscopiques de l’Elément.

Illustration de Mysterium Cosmographicum, de Kepler

L’élément Terre est le plus solide et l’élément Feu le plus mobile (l’Eau  puis l’Air constituant des intermédiaires). Platon va donc classer les polyèdres réguliers par mobilité croissante depuis  le Cube (le plus stable),  jusqu’au Tétraèdre (le plus petit, donc le plus mobile), en passant par l’Icosaèdre et l’Octaèdre. Le cinquième polyèdre régulier, le Dodécaèdre, est à part : Platon l’associe au Tout, au Plan de l’Univers.

Les transformations entre éléments

Le Tétraèdre, l’Icosaèdre et l’Octaèdre ont des faces constituées de triangles équilatéraux (respectivement 4, 20 et 8). Platon y voit la raison des transformations incessantes entre les trois éléments correspondants  (le Feu, l’Eau et l’Air).



Car sa thérie consiste à décomposer les faces de tous les polyèdres en deux types de triangles rectangles : en termes modernes,

• ceux de côtés 1,2, Rac(3) pour les polyèdres à base de triangles équilatéraux,
• ceux de côtés 1,2, rac(2) qui servent uniquement pour le cube.

Comme dans un jeu de construction, un polyèdre peut libérer toutes ses faces triangulaires, lesquelles vont être recyclées pour fabriquer d’autres polyèdres. Par exemple, un  Icosaèdre peut se décomposer en 120 triangles de type 1, qui peuvent  se recombiner soit en 5 Tétraèdres, soit en deux Octaèdres et un Tétraèdre. Ce qui donne des sortes d’équations qui conservent le nombre de faces et régissent les transformations entre les Eléments. Dans notre exemple :

1 « Eau » => 5 « Feu » ou 1 « Eau » => 2 « Air » + 1 « Feu ».

(pour des explications plus complètes, voir [1])

Des solides de Platon aux Tempéraments

Hippocrate développera ensuite sa théorie des quatre Tempéraments associés aux quatre Eléments. Plus tard (après Aristote), on associera ces Tempéraments  aux quatre planètes qui les gouvernent.

Voici au final le tableau complet de correspondance, tel que le connaissaient Dürer et ses contemporains.

Jupiter contre Saturne

Revenons maintenant à la gravure.  Le carré magique évoque l’Arithmétique. Mais c’est surtout, comme nous l’avons vu (2 La question du Carré) un talisman associé à Jupiter. Sa  présence se justifie donc par le fait que, dans la théorie des Tempéraments, l’influence de Jupiter, propice aux caractères Sanguins, contrecarre les effets de Saturne, qui gouverne la Mélancolie.

Octaèdre contre cube

Notons que l’antagonisme entre le Mélancolique et le Sanguin correspond, en terme de géométrie, à celui entre le Cube et l’Octaèdre.

Lutter conte la Mélancolie revient donc

à transformer un Cube en un Octoaèdre.

Transformer un polyèdre en un autre : la dualité

La méthode du vieux Platon fonctionnait à deux dimensions, en mettant à plat la surface des polyèdres. Mais si l’on raisonne en volume, on découvre des relations plus profondes entre les polyèdres.

Par exemple, prenons un Octaèdre, traçons un point au milieu de chacune de ses faces, puis relions ces huit points entre eux : nous obtenons un Cube, imbriqué dans le premier.  Et si nous recommençons la même opération sur le Cube , nous obtiendrons à nouveau un Octaèdre (on dit que le Cube et l’Octaèdre sont deux polyèdres duaux).

Deux autres solides de Platon  l’Icosaèdre et le Dodécaèdre, sont également liés l’un l’autre par la relation de dualité. Enfin le dernier, le Tétraèdre, est son propre dual.

De l’usage de la scie contre la Mélancolie

Passer de la Mélancolie à la Jovialité – de l’influence de Saturne à celle de Jupiter – équivaut donc, en terme de géométrie dans l’espace, à passer du Cube à son polyèdre dual, l’Octaèdre .

Transformation d’un Cube en Octaèdre par rognure

Une première méthode consiste à prendre une  scie, ou une meule, et à tronquer progressivement les sommets, jusqu’à dégager le polyèdre dual .

Tout cela est bien beau, mais quel rapport avec notre gravure dans laquelle, justement, on ne voit ni cube ni octaèdre ?

L’octaèdre jovial

C’est MacKinnon, toujours original, qui a mis le doigt sur la piste qui pourrait bien se révéler décisive pour expliquer la présence du polyèdre dans la gravure. Formulée avec laconisme,  perdue au beau milieu d’une interprétation astronomique quelque peu acrobatique, sa remarque n’a pas retenu l’attention. La voici :

« Le sable a à moitié coulé dans le sablier, la balance est étale : c’est le moment de l’équilibre. De plus, les plans qui tronquent le polyèdre sont à mi-course des arêtes. S’ils se rapprochent encore, le solide va se rapprocher d’autant plus d’un octaèdre. Nous pouvons nous représenter le solide comme étant une forme équilibrée, à mi-course, entre un cube mélancolique et un octaèdre jovial«  [2], p 213.

Où MacKinnon voit-il son octaèdre ? Si les plans de coupe continuent leur progression, ils vont finir par isoler la partie centrale du polyèdre, constitué de six triangles.

Un antiprisme particulier

Voici à gauche un prisme reliant deux triangles. On obtient son antiprisme en faisant tourner un des deux  triangles pour qu’il soit opposé à l’autre : il en résulte un solide à six faces latérales, plus deux faces en haut et en bas, toutes triangulaires.

Octaèdre
Dürer, Underweysung der Messung, 1525, p 143

Pour peu que la « hauteur » de l’antiprisme soit réglée pour que les faces latérales soient des triangles équilatéraux, l’antiprisme triangulaire n’est rien d’autre qu’un octaèdre, comme le montre cette représentation plane.

Dürer et les dilatations/compressions

Dürer, Vier Bücher von menschlicher Proportion, 1526

Sachant que Dürer s’est intéressé à ce type de transformation, Ishizu Hideko [3] a proposé l’hypothèse que le polyèdre serait au départ un cube tronqué, que  Durer aurait dilaté intentionnellement,  pour en faire une sorte d’anamorphose. La raison ? Il se trouve que le coefficient de dilatation de 1,277 que trouve Hideko est à peu près celui qui permet de résoudre un autre vieux problème insoluble par la règle et le compas, celui du doublement du cube (trouver le cube dont le volume est double d’un cube donné).

Cette idée originale semble néanmoins quelque peu artificielle, car elle ne se relie pas au thème principal : Melencolia I ne se réduit pas à une accumulation de toutes les énigmes  mathématiques que Dürer a décrit par ailleurs dans l’un ou l’autre de ses traités.

A partir d’ici : Scoop !

La transformation de Dürer

Au final, tous les chercheurs s’accordent pour décrire le polyèdre de Dürer comme un cube qu’on a d’abord étiré selon son grand axe, puis tronqué à une certaine hauteur. Mais s’il fallait plutôt concevoir les deux opérations comme synchronisées ?

Au fur et à mesure que le cube s’étire, les plans de coupe se rapprochent du centre. A la fin, lorsque le facteur d’étirement atteindra exactement 2 (deux fois la grande diagonale du cube initial), la partie centrale, totalement dégagée, deviendra un parfait octaèdre.

Nous baptiserons ces deux opérations couplées, étirement et coupure : la Transformation de Dürer.

L’équation de Dürer

Il se trouve que, à l’issue de la transformation, lorsque la partie centrale du polyèdre deviendra un Octaèdre, les deux pyramides sectionnées deviendront, quant-à-elles deux parfaits Tétraèdres. Dans une sorte d’équation « à la Platon », nous pourrons alors écrire :

1 « Terre » = 1 « Air » + 2 « Feu ».

Un état mixte

Si c’est bien une forme de transition entre le Cube et l’Octaèdre que veut nous montrer la gravure, déterminer exactement les deux paramètres fatidiques (le facteur d’étirement et la hauteur de troncature) devient futile : que ce soit 1,27 ou 1,278, peu importe, puisque le polyèdre matérialise seulement une dilatation entre 1 et 2 et une coupe intermédiaire.

Pour illustrer la transformation en cours, Dürer fabrique donc un objet mixte, irrésolu, ni Cube ni Octaèdre, qui se trouve non pas dans un état bien défini mais, comme on pourrait l’exprimer en termes plus modernes, dans  une superposition d’états.

Une autre superposition d’états chez Dürer

On trouve un prototype de cet effet de superposition dans la « Meisterstiche » qui précède d’un an Melencolia : dans « le Chevalier, la Mort et le Diable », l’avant-train du cheval du guerrier (pattes et tête) semble fusionner avec le cheval de la Mort ; tandis que son arrière-train (pattes et queue) fusionne avec le Diable aux pattes fourchues.

Comment mieux signifier que le chevalier se trouve dans un état intermédiaire, d’une part entre vie et mort, d’autre part entre salut et damnation ?

Souvent, le texte des cartouches explicite le sujet immédiatement situé au dessous. Et si le texte « Melencolie, va-t-en ! » désignait, plus précisément, le polyèdre ?

Et si Melencolia, l’avatar de Dürer dans la gravure, songeait à rien moins que renouveler Platon ? Avec ses découpages en 2D des faces des polyèdres, celui-ci n’expliquait que les transformations entre les éléments les plus mobiles, Feu , Air et Eau, la Terre restant à part. La « transformation de Dürer », quant à elle, fonctionne en volume. Elle ne conserve pas seulement le nombre de faces, mais la forme dans l’espace. Elle permet de passer continument du Cube saturnien à l’Octaèdre jovial ; de l’élément « Terre » à son opposé, l’élément « Air » ; et du tempérament Mélancolique à son contraire, le tempérament Sanguin.

Article suivant : La question du Polyèdre :  4.4 Harmonies polyédriques

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En raisonnant avec un peu d’abstraction, nous allons découvrir que les objets situés à proximité du polyèdre ont des caractéristiques formelles communes, qui s’estompent d’autant plus qu’on s’éloigne de l’objet de base.

Ainsi la « transformation » qui est en train d’affecter le polyèdre résonne, de manière plus ou moins directe, sur les objets voisins : sortes d’harmoniques formelles, similaires à des harmoniques sonores.

Tout ce chapitre est un SCOOP !

Article précédent : 4.3 La Transformation de Dürer

L’échelle (première harmonique)

L’étirement du cube

Reprenons le schéma de la transformation de Dürer. Posons le cube de côté 1 sur sa pointe et traçons, en vue de face,  un quadrillage dans lequel l’inscrire : il va avoir une largeur Rac(2) (la diagonale du carré) et une hauteur Rac(3) (la diagonale du cube). Mais surtout, il va se découper naturellement en six tranches horizontales, correspondant aux points significatifs du contour.

L’échelle à six intervalles

Les six intervalles de l’échelle font directement allusion aux six tranches horizontales du quadrillage. Mais de plus, l’inclinaison de l’échelle montre directement l’étirement en cours. Il suffit d’imaginer qu’elle est en train de se relever : les tranches vont encore s’élargir jusqu’à ce qu’elle atteigne la position verticale : alors le facteur d’étirement sera 2, et le cube se sera transformé en octaèdre. (Le calcul montre que l’angle initial de l’échelle, au début de la transformation, devrait être de 41,5°, pour qu’il atteigne 18° (PI/10) pour un étirement d’environ 1,27, puis 0° pour un étirement de 2).

Ceci donne peut être la solution définitive au facteur d’étirement du polyèdre : Dürer l’a réglé de manière à ce que l’échelle, qui matérialise la transformation de Dürer, montre l’angle de PI/10.

Le nombre d’or ne se cache pas dans le polyèdre, mais dans l’échelle !

Les tranches à ôter

Remarquons que les deux intervalles extrêmes de l’échelle sont partiellement masqués, en haut par le bâtiment,  en bas par le polyèdre. Or ce sont justement ces intervalles qui correspondent, dans l’état actuel de la transformation, aux tranches qui ont déjà été ôtées.

L’idée de manque de matière, côté volume, se traduit donc visuellement,

côté échelle, par l’idée d’un « manque de jour ».

Une preuve manifeste de l’importance du nombre d’intervalles et de leur écartement est que Dürer, pour laisser la place à l’échelle, a dû pratiquer une sorte d’encoche dans le parapet.

Il est étonnant que le rapport étroit entre le polyèdre et l’échelle – objet qui le touche pourtant directement, n’ait pas été remarqué jusqu’ici ; alors que le rapport du polyèdre avec le carré magique, qui est pourtant moins évident, est connu depuis 1980.

C’est sans doute parce que dans l’échelle, les commentaires se focalisent plutôt sur les sept barreaux que sur les six intervalles, tant l’oeil est attiré par les pleins plutôt que par les vides.

La balance (deuxième harmonique)

Nous allons maintenant nous éloigner du polyèdre et fixer notre attention, un peu plus à droite, sur la balance.

Les plateaux retournés

Dürer a dessiné avec une grande précision l’entrecroisement des trois cordes de chaque plateau. Le plateau de droite est croisé une seule fois, c’est à dire qu’il suffirait de  le retourner vers le bas pour décroiser ses attaches. Le plateau de gauche, lui, est croisé de manière plus complexe : mais en le retournant deux fois, c’est-à-dire en le remettant dans sa position naturelle, on démêle les attaches  (on pourra s’en convaincre en réalisant un petit modèle, avec trois bouts de ficelle et un rond de carton).

Une copie d’après-nature ?

Pourquoi cette dissymétrie, qui fait que le plateau de droite, pour décroiser ses liens, doit devenir un « anti-plateau » (ouvert vers le bas) ? Peut-être est-ce fortuit : nous avons vu que dans le dessin préparatoire, l’entrecroisement des cordes est exactement le même, tandis que le fléau est vu sous une perspective différente : peut-être Dürer s’est-il contenté de faire le croquis d’une balance qu’il avait sous la main, et dont un des plateaux était monté à l’envers. Et peut-être  a-t-il retourné deux fois le plateau de gauche, juste pour montrer la précision de son dessin ?

Un second paradoxe

Que Dürer ait copié ou pas une balance existante, au final ce jeu avec les fils illustre deux nouveaux paradoxes.

• D’une part, un paradoxe de l‘identité : deux objets qui se proclament égaux peuvent être des inverses (un plateau et un anti-plateau).
• D’autre part, un paradoxe de la complexité :  le noeud le plus imbriqué s’élimine de lui-même, alors que le noeud le plus simple se révèle irréductible.

Triangles opposés

Les points d’attache des trois cordes dessinent, sur chaque plateau, un triangle équilatéral (en vert). On voit aisément que ces triangles sont opposés. En outre,  le triangle du plateau de gauche est disposé comme le triangle de la face supérieure du polyèdre (noté 2), tandis que celui de l’autre plateau est dans la même position que celui de la face inférieure (noté 1).

Un modèle du polyèdre

Cette analogie entre les plans de coupe du polyèdre et les plateaux de la balance est plus qu’une coïncidence. Voyons les choses en mouvement : inclinons le fléau, et laissons-le revenir vers l’équilibre : les deux plateaux vont se rapprocher l’un de l’autre, à l’image des plans de coupe durant la transformation de Dürer.

Mais il y a plus. Ne touchons plus au fléau, mais continuons  à retourner les plateaux sur eux-mêmes  (flèches violettes) :  les cordes vont se raccourcir, et l’angle au sommet va devenir moins aigu, jusqu’à épouser celui du polyèdre.

Les cordes des plateaux donnent une image filaire des deux pyramides fantômes (en bleu).

Et la  perspective ?

Si nous avons remarqué l’équivalence entre les triangles des plateaux (gauche et droit)  et les faces (supérieure  et inférieure) du polyèdre, c’est que nous avons fait abstraction de la perspective. Tenons-en compte maintenant, et traçons les lignes de fuite passant par les points d’attache des six cordes : nous constatons que le plateau qui est orienté comme la face supérieure du polyèdre, c’est maintenant  le droit (en jaune) ; tandis que le gauche est orienté comme la face inférieure.

A l’analyse, la balance se révèle un objet particulièrement subtil, car son sens lui est donné, non par la main du dessinateur, mais par le regard que le spectateur va porter sur elle.

• Qu’il la considère localement, comme un objet isolé de son contexte : il  percevra les plateaux comme déséquilibrés, et  il les associera d’une première manière avec les plans de coupe du polyèdre (il trouvera une correspondance gauche/haut et droite/bas).
• Qu’il rectifie son regard en tenant compte de la perspective : les plateaux reviennent à l’équilibre, et la correspondance entre plateaux et plans de coupe s’inverse.

Voici donc un instrument qui est tout à la fois juste et injuste ; semblable au polyèdre et semblable au polyèdre retourné. Ses plateaux sont à la fois des égaux et des inverses ; quand aux noeuds, le plus compliqué ne noue rien, et le plus simple noue absolument.

La balance de Melencolia n’est pas un instrument de pesée  :

c’est un instrument de pensée, un modèle pour la conciliation des contraires.  

Le sablier  (troisième harmonique)

Continuons à nous éloigner du polyèdre en nous dirigeant vers la droite : nous voici au sablier.

Un  problème de perspective

La base du sablier est vue comme une ligne, ce qui est normal puisqu’elle se situe sur la ligne d’horizon. Les quatre colonnes frontales, plus les deux colonnes que l’on devine derrière, permettent de reconstituer l’hexagone de la face supérieure. On se rend alors compte que la perspective de cet hexagone correspond à un point de fuite différent du point de fuite principal : il est bien sur la même horizontale mais beaucoup plus à droite, sur l’arête du bâtiment (en bleu sur le schéma).

Le sablier n’est pas le seul objet qui échappe à la perspective : si l’on regarde la cloche (située portant encore plus à droite), le rectangle allongé à la base de la pièce de bois correspond à un troisième point de fuite (en orange), situé entre les deux.

Pourquoi Dürer, si à cheval sur la perspective, s’est-il permis cette liberté ?  Le sablier, construit à la même place selon une perspective correcte, n’aurait montré que deux de ses faces et trois de ses colonnes, rendant plus difficile sa lecture comme un objet hexagonal. Nous touchons ici à un point important de la méthode de Dürer : la rigueur de la perspective est un alibi, un trompe-l’oeil, qui s’efface au besoin devant un intérêt supérieur. Ce qui est important ici, c’est que le sablier soit bien positionné à cet emplacement dans la gravure, entre la balance et la carré (nous verrons pourquoi dans 8 Comme à une fenêtre ) ;  et que le spectateur comprenne bien qu’il est hexagonal.

Un autre modèle du polyèdre

Vu du haut, la symétrie hexagonale du sablier, à laquelle Dürer attache tant d’importance, est évidemment un indice pour le rapprocher du polyèdre. Le fait que celui-ci soit symétrique entre le haut et le bas est une autre similitude.

Mais il y a une dernière affinité, plus subtile, qu’on ne perçoit qu’une fois qu’on a compris que le polyèdre ne représente pas un objet achevé, mais un instantané dans un processus en devenir. Le polyèdre évolue en diminuant son angle au sommet, et en rapprochant ses surfaces de coupe (deux triangles qui deviennent de plus en plus grands).

De même le sablier nous montre, dans son compartiment du bas, un cône de sable qui grandit en modifiant son angle au sommet  (cette fois en l’augmentant) ; et si nous tapotons les parois de verre pour égaliser les niveaux, nous verrons, dans les deux compartiments,  deux surfaces qui se rapprochent l’une de l’autre (cette fois circulaires, en devenant de plus en plus petites).

Le sablier est triplement en affinité avec le polyèdre :

• par sa géométrie (symétrie hexagonale),
• par son utilisation (retournement haut-bas),
• et par sa dynamique interne (modification de l’angle au sommet, et rapprochement des plans de coupe).

Le carré magique (quatrième harmonique)

Nous avons vu que le Polyèdre se projette orthogonalement dans deux quadrillages carrés.

Mais comme le Sablier et le Carré sont deux harmoniques du polyèdre, ils se ressemblent également entre eux.



Ainsi, les nombres de la moitié haute étant symétriques de ceux de la moitié basse, retourner le Carré de bas en haut ne modifie pas ses motifs numériques.

Notons également qu’en reliant les chiffres pairs et les chiffres impairs entre eux, on obtient deux familles d’hexagones.

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Des outils pour construire le polyèdre

Le polyèdre est un objet abstrait : pour le construire, scie, marteau ou meule sont inutiles.

Ce qu’il faut, ce sont des instruments de la pensée, des Idées.

• L’échelle penchée règle son étirement vertical.
• Les plateaux de la balance suggèrent les triangles de coupe.
• Le sablier donne sa forme en plan, un hexagone.
• Enfin, le carré nous donne ses projections dans deux directions.

Des rotations croissantes

Tous ces objets ont pour caractéristique commune de posséder un centre de rotation, autour duquel ils trouvent leur équilibre. Mais les possibilités et de rotation s’accentuent de la gauche vers la droite :

• le polyèdre est bloqué sur son axe vertical, dont il ne peut pas dévier ;
• l’échelle peut s’incliner un peu sans perdre son équilibre ;
• le fléau de la balance autorise des inclinaisons plus marquées ;
• même amplitude pour la cloche ;
• sur le cadran solaire, l’ombre de l’aiguille décrit un quart-de-tour durant la journée ;
• le sablier est fait pour être retourné d’un demi-tour ;
  
• le carré peut par définition être tourné d’un quart-de-tour sans qu’il perde ses propriétés numériques.

Des mouvements cycliques

• Le polyèdre peut indéfiniment se transformer, du cube et l’octaèdre et retour ;
• l’échelle peut être montée ou descendue ;
• la balance et la cloche oscillent ;
• l’ombre de l’aiguille tourne et croît, de la même manière chaque jour,
• tandis que le sable recommence à s’écouler à chaque retournement du sablier ;
• le carré compte et recompte à l’infini les nombres de un à seize.

Le bas comme le haut

Enfin, et c’est leur caractéristiques la plus forte, tous ces objets portent l’idée de la communication entre le bas et et le haut. Voire même de l’interaction entre ces deux mondes.

• L’échelle donne accès, sans barrière, à l’étage supérieur ;
• des plateaux de la balance, l’un monte quand l’autre descend, indiquant que les deux trajets sont possibles ;
• le sable remplit progressivement le compartiment bas, sans qu’un grain ne se perde ;
• l’aiguille reproduit, en minuscule, la marche du soleil ;
• le carré magique donne une image parfaite de l’équivalence entre le haut et le bas : chaque nombre de la moitié basse a son jumeau dans la moitié haute, qui l’équilibre exactement pour le compléter à 17 ; décaler un nombre dans le  compartiment du haut perturbe instantanément le compartiment du bas ;
• quant au polyèdre, il possède une propriété bien particulière, qui fournit également une image forte de la solidarité entre le  haut et le bas ; car pour que sa moitié haute s’interchange avec sa moitié basse, nul besoin de le retourner de haut en bas: il suffit de le faire pivoter d’un tiers de tour autour de son axe vertical.

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